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(14) Vectores

Los Vectores como Extensión de los Números

El concepto de los números se desarrolló gradualmente. Primero fueron los enteros positivos, 1,2,3... (no el cero, que se incorporó más recientemente) los usados para reseñar los objetos contables, tales como ovejas, días, miembros de la tribu, etc. 

El concepto de números negativos pudo surgir como una extensión de la resta, ó, quizás del dinero, lo que se debe es riqueza negativa, números rojos en la contabilidad.

Los objetos que pueden dividirse, por ejemplo el suelo, trajeron las fracciones. Luego, alrededor del año 500 a.C., un estudiante de Pitágoras probó que el número dado por la raíz cuadrada de 2 no se podía expresar como fracción; no lo encontró lógico y, por lo tanto, podemos decir que esos son números "irracionales". Por medio de ellos, enteros, fracciones e irracionales podemos describir cualquier cosa que tenga una dimensión, una magnitud. 

Pero,¿ como podemos describir la velocidad, que tiene una magnitud y una dirección?

Para eso está el vector.  

Suma de Vectores

Las velocidades se pueden sumar. Imagine a un aeroplano que vuela a 200 mph (o, si quiere, km/h) con un viento de cola de 40 mph. ¿Con que rapidez cubre la distancia en relación al suelo? Fácil: por cada 200 millas que avanza, el viento lo lleva 40 millas más allá, luego la respuesta es

200 + 40 = 240 millas

Gráficamente, cada tramo en el suelo ó velocidad puede representarse por una flecha con su dirección, y su longitud nos indica la magnitud; por ejemplo, una flecha AB de 200 mm (milímetros) de longitud para representar el movimiento del aeroplano y otra BC de 40 mm de longitud, en la misma dirección, para el viento. Para sumar las velocidades, se coloca una flecha a continuación de la otra, como se ve en la parte superior de la figura


Por el momento, es una vía complicada para hacer algo obvio. Lo que hace a la "suma de flechas" útil es que sirve también cuando las direcciones son distintas. Imagine que el aeroplano vuela con un viento contrario de 40 mph: prevemos que la velocidad relativa al suelo será de

200 - 40 = 160 mph

y la "suma de flechas" (en la mitad de la figura) lo confirma.

Ahora imagine que la ruta del piloto es hacia el este, pero un viento lateral sopla hacia el nordeste: ¿en que dirección se moverá el aeroplano y con que rapidez? La intuición no ayuda, pero la suma de flechas si lo hace (el pié de la figura, que no está a escala) . 

La regla general es que las velocidades combinadas hacen que el aeroplano se desplace en una hora al mismo punto que alcanzaría si se moviera primero con un movimiento y luego con el otro, actuando solos durante una hora. Como se espera, la dirección es alguna entre la dirección este y la norte.

Todos los vectores se pueden sumar entre ellos de esta manera, como flechas, uniendo la cabeza de uno a la cola del otro. Existe un método alternativo, con frecuencia más fácil de usar y que se describe a continuación.
 

Descomposición de vectores en sus componentes

Al igual que se pueden combinar dos vectores en uno, o sea su suma, también es posible hacer lo contrario; dado un vector, encontrar los dos vectores cuya suma es el vector primitivo..

Imagine que el vector dado está representado por la fecha AB del dibujo y queremos descomponerlo en las partes de la suma de dos vectores dirigidos a lo largo de AA' y AA". Dibujamos líneas a lo largo de AA' y AA" y también líneas paralelas a ellas desde B, el otro final del vector. Si AA' y AA" son perpendiculares entre si (lo usual), entonces estas líneas encierran un rectángulo ACBD, donde AB es su diagonal. Es evidente que AC y CB son la solución a nuestro problema y en la suma de vectores

AC + CB = AB

AC y CB se llaman los componentes de AB vectores componentes de AB) a lo largo de las dos direcciones dadas. AD y DB, que tienen la misma longitud y dirección, son también una solución y representan los mismos componentes, la diferencia es que su suma se efectúa en orden inverso. Si AA' y AA" no son perpendiculares entonces ACBD es un paralelogramo.
 

Los usos de los vectores componentes

Descomponer los vectores en sus componentes puede ser muy útil. Se dan tres ejemplos abajo y hay más en la sección (22a).

(a) Suma de varios vectores

Considere que se necesita sumar 10 vectores (si, existe esa circunstancia..). Para conseguirlo de la forma descrita anteriormente, sumamos los dos primeros vectores cabeza con cola, luego sumamos el tercero a la suma, luego el cuarto,... ¡tediosa labor!

Una forma más rápida es escoger dos direcciones perpendiculares, y al igual que se indicaba en las coordenadas cartesianas, podemos denominarlas "la dirección x" y "la dirección y". Descomponemos cada vector V en sus componentes: "Vx" en la dirección x y "Vy" en la dirección y.

Ahora no tenemos 10, sino 20 vectores que necesitamos sumar, pero el trabajo es mucho más sencillo. De estos vectores, 10 están alineados con la dirección x y los vectores en la misma dirección (como el viento de cola del ejemplo anterior del aeroplano) se suman igual que números ordinarios. Lo mismo se hace con los 10 vectores alineados en la dirección y. El problema ahora es reducir las dos series de sumas  y restas ordinarias (los vectores opuestos tienen el signo menos), y solo se necesita la suma de tipo vectorial en la suma de los totales de las direcciones x e y.

    Nota: El mundo real es tridimensional y así son sus vectores. Pero los vectores en 3-D  también se pueden resolver, cada uno de ellos es igual a la suma de los tres vectores en las direcciones (x, y, z); ahora el rectángulo es una caja rectangular. Los componentes del mismo tipo se suman como en el ejemplo bidimensional anterior y la suma final implica una suma vectorial en cada dimensión. Ahora el vector suma es la diagonal de la caja rectangular, en la cual las tres sumas son los lados de dicha caja.

(b) Cálculo del vector suma

La suma cabeza a cola de vectores nos permite construir su suma gráficamente. Los componentes permiten ser calculados.

Tome el primer ejemplo de suma de vectores, un aeroplano volando hacia el este a 200 mph (su velocidad de vuelo, su velocidad relativa al aire), mientras a 100 mph sopla el viento hacia el nordeste. El triángulo de la suma de los vectores de este ejemplo está en la parte inferior del dibujo de esta sección.

Haga que la dirección x sea hacia el este y la y hacia el norte. Luego los componentes de la velocidad (x,y) son, en mph,

  • --de la velocidad de vuelo, (200,0)
  • --de la velocidad del viento (100 cos 45o,100 sen 45o) = (70.7, 70.7)
dado que el cos 45o = sen 45o = 0.707 (para deducir aquí). Así los componentes de la velocidad total son

(Vx,Vy) = (200+70.7,0+70.7) = (270.7,70.7)

esto nos da la velocidad total V. Por el teorema de Pitágoras,

V2  = (Vx)2 + (Vy)2

dando la magnitud de V aproximadamente 280 mph, mientras que el ángulo agudo en el punto A del dibujo (lo llamaremos A, también) satisface que

senA = 70.7/280 = 0.2527

De donde A es aproximadamente 16.º. 
 

(c) El plano inclinado

Regresemos al  experimento de Galileo . Suponga que tenemos un plano inclinado con una inclinación suave a un ángulo s (dibujo inferior) y sobre el un bloque bien engrasado, listo para deslizarse hacia abajo (Galileo usaba una bola  rodante, con la que el experimento es más fácil de ejecutar pero más  difícil de calcular, dado que la energía cinética está ahora dividida entre el movimiento de deslizamiento y el de rotación).
Si despreciamos la fricción, ¿con que rapidez se desliza el bloque? 
la fuerza de la gravedad sobre el bloque, tiene un nombre: peso del bloque W, puede representarse por una fecha vertical AB de longitud W, dirigida hacia abajo. Esta no es la dirección en la que puede acelerar el bloque. Sin embargo, el vector AB puede descomponerse en sus fuerzas perpendiculares:
  • Una es perpendicular a la superficie y está representada por la línea AC y su magnitud es W cos s. Esta fuerza está completamente contrarrestada por la resistencia de la superficie, que no permite el movimiento en esa dirección, un asunto que se tratará de nuevo al final de la sección 18. Si el movimiento incluye la fricción, sin embargo, la fuerza de fricción es proporcional a este componente.

  •  
  • La otra fuerza es paralela a la superficie, está representada por la línea AD, tiene una magnitud W sen s y, si la fricción no impide el movimiento, es libre para acelerar el bloque en esa dirección. La fuerza es menor que el peso W por un factor (multiplicador) sen s, un número siempre menor que 1, mientras que la masa del bloque no ha cambiado. Su aceleración es, por consiguiente, reducida por un factor similar y no igualará a g como si fuera en  libre, pero será solo g sen s.

Exploración Adicional

Otra elemental introducción a los vectores .

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Próxima Etapa: #15 Energía

Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001

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